eng
TS_pub
technospheramag
technospheramag
ТЕХНОСФЕРА_РИЦ
Выпуск #2/2014
И.Шахнович
Миф о затухании свободного пространства: чего не писал Г.Т.Фриис
Миф о затухании свободного пространства: чего не писал Г.Т.Фриис
Просмотры: 8635
Дана функция y(x) = abx2, где a и b – некие постоянные коэффициенты. Пусть A = ax2,
B = bx2. При x ≠ 0 имеет место тождество y(x) = abx2 = AB/x2. Если забыть, что такое А и В, мы "ясно видим", что y ~ 1/x2, тогда как на самом деле y ~ x2. "Что за глупости?" – скажет читатель и будет прав. Однако с подобной схемой рассуждений связано одно из самых стойких заблуждений в радиосвязи, а именно, что существует "затухание свободного пространства", которое прямо пропорционально квадрату частоты излучения. Но ведь в строгом соответствии с законом сохранения энергии, в свободном пространстве
(в вакууме) ни затухания, ни рассеяния быть не может. Откуда же взялось заблуждение, что чем выше частота, тем быстрее затухает сигнал? Попробуем разобраться. Корни этой проблемы лежат в таком простом деле, как "трактовка" формулы Фрииса.
B = bx2. При x ≠ 0 имеет место тождество y(x) = abx2 = AB/x2. Если забыть, что такое А и В, мы "ясно видим", что y ~ 1/x2, тогда как на самом деле y ~ x2. "Что за глупости?" – скажет читатель и будет прав. Однако с подобной схемой рассуждений связано одно из самых стойких заблуждений в радиосвязи, а именно, что существует "затухание свободного пространства", которое прямо пропорционально квадрату частоты излучения. Но ведь в строгом соответствии с законом сохранения энергии, в свободном пространстве
(в вакууме) ни затухания, ни рассеяния быть не может. Откуда же взялось заблуждение, что чем выше частота, тем быстрее затухает сигнал? Попробуем разобраться. Корни этой проблемы лежат в таком простом деле, как "трактовка" формулы Фрииса.
Суть проблемы
Мне казалось, что подобная статья не нужна, поскольку все изложенные в ней вопросы многократно рассмотрены за последние 60–70 лет. Более того, любой серьезный специалист в радиофизике, теории антенн, радиолокации и аналогичных областях просто не поймет, зачем это написано. Однако современная телекоммуникационная индустрия – область чрезвычайно широкая. Едва ли найдется специалист, который досконально знает о ней все – от элементной базы до бизнес-схем организации обслуживания клиентов. Невозможно требовать от специалистов по эксплуатации систем беспроводного доступа знания законов распространения радиоволн или общей электродинамики. Да и не нужно. Для этого выведены расчетные инженерные формулы, в которые можно подставить значения и получить результат.
Проблема лишь в том, что любая математическая модель отражает реальность в ограниченной области. Любая формула – это математическая абстракция, справедливая лишь в рамках неких граничных условий. Помня формулу, порой забывают об области ее применения и физическом смысле, но пытаются на ее основе построить картину мира. В итоге результаты оказываются противоположными реальности.
Сегодня одно из бурно развивающихся направлений телекоммуникаций – системы связи миллиметрового диапазона. Они уже промышленно осваиваются на уровне аппаратуры опорных сетей и радиорелейных линий, на повестке дня – вопрос о создании сетей абонентского доступа в миллиметровом диапазоне. Многие эксперты даже связывают будущие системы связи (5G) именно с этим диапазоном. Однако даже очень грамотные специалисты не устают повторять некий миф – в миллиметровом диапазоне очень велико "затухание свободного пространства". Причем это "затухание" пропорционально квадрату частоты. Подчеркнем, речь идет не о затухании в атмосфере в целом, не о резонансном поглощении на молекулах кислорода или воды – говорят именно о затухании в физическом вакууме. А законы распространения в вакууме – это некое нулевое приближение, отталкиваясь от которого, выводят законы распространения радиоволн в реальных условиях, – правда, в основном полуэмпирические.
Конечно, любой специалист, который изучал и не забыл физику, услышав термин "затухание свободного пространства", лишь усмехнется. Физический вакуум – он на то и вакуум, что ни затухать, ни рассеиваться электромагнитным волнам там не на чем. Будь это иначе, если бы электромагнитные волны действительно затухали в вакууме, и тем более – пропорционально квадрату частоты, мы никогда не увидели бы солнечный свет, не смогли бы использовать рентгеновское излучение. Заблуждение очевидно, но откуда оно взялось?
В радиотехнике, в частности при расчете бюджета радиорелейных систем, широко распространено уравнение, которое называют формулой Фрииса. Ее приводят как:
, (1)
где Pr – мощность на выходе приемной антенны, Pt – мощность на входе передающей антенны, Gr и Gt – коэффициенты усиления приемной и передающей антенн, R – расстояние между ними, λ – длина волны излучения. Сомножитель
, (2)
где f – частота, с – скорость света в вакууме, в зарубежной и российской литературе и называют "затуханием свободного пространства" (free space loss, см., например, [1, 2]). Резон для этого есть – в приведенной формуле он действительно выглядит как коэффициент затухания, обратно пропорциональный квадрату расстояния и прямо пропорциональный длине волны. При этом, забыв о природе этой формулы, считают усиление антенн константами и выводят закон о том, что мощность в приемной антенне убывает не только с квадратом расстояния (что верно), но и с квадратом рабочей частоты. Последнее, как мы покажем ниже, в большинстве случаев верно с точностью до наоборот – эффективность системы растет пропорционально квадрату частоты. Во многом именно данный факт и открывает перед системами связи миллиметрового диапазона широчайшие перспективы. И именно ошибочность восприятия термина "затухание свободного пространства" не дает многим специалистам это увидеть.
Экскурс в историю
6 декабря 1945 года в редакцию журнала Proceedings of I.R.E. and Waves and Electrons (с 1963 года – Proceedings of IEEE) поступила статья "Заметка о простой формуле передачи" известного американского специалиста из Bell Labs Гарольда Трапа Фрииса (Harald Trap Friis). Через полгода она была опубликована [3]. Это очень короткая статья, менее двух страниц, но именно в ней впервые появилась "формула Фрииса". Только вот выглядела она иначе, чем (1):
, (3)
где Ar и At – эффективные площади приемной и передающей антенн. Разница между (1) и (3) налицо: нет никакого "усиления", зато есть "эффективная площадь" – параметр, определяемый конструкцией и геометрией антенны. А самое важное – отношение принятой мощности к переданной здесь обратно пропорционально длине волны. То есть при равных эффективных площадях антенн чем выше частота, тем больше энергетический выигрыш. К слову, термина "затухание свободного пространства" в статье нет, Г.Фриис просто вводил формулу для оценочных расчетов.
Через шесть лет, в 1952 году, Г.Т.Фриис и другой, не менее известный, сотрудник Bell Labs Сергей Александрович Щелкунов издали книгу Antennas. Theory and Practice [4]. Через три года знаменитая книга "Антенны (теория и практика)" была издана в СССР [5] и стала учебником для многих поколений специалистов. Разумеется, в ней подробно рассматриваются вопросы расчета антенных систем, в том числе и приводится вывод формулы Фрииса. Причем там она также записана так, что ошибиться в ее понимании сложно. Приведем прямую цитату:
Заметим, авторы особо оговорили, что формулы "удобны", когда приведенные в них параметры антенн не зависят от длины волны. И что характерно – на всех 600 с лишним страницах книги ни разу не встречается термин "затухание свободного пространства".
Давайте кратко, "на пальцах", рассмотрим, как выводится формула Фрииса, в чем физический смысл входящих в нее параметров и в каких случаях ее следует применять.
Краткие сведения из теории связи
Прежде всего, определим объект рассмотрения. Мы говорим о законах распространения сигнала в беспроводном канале передачи в условиях абсолютного вакуума, т.е. без каких-либо затуханий и рассеяний. Предполагаем полное отсутствие иных источников излучения, кроме передающей антенны.
Система связи – это комплекс, включающий передающее устройство, генерирующее РЧ-сингал, фидерную систему, доставляющую этот сигнал до антенны, и саму антенну, преобразующую сигнал в электромагнитное излучение. Это излучение распространяется в пространстве и достигает приемной антенны, где в свою очередь преобразуется в электрический ток и через фидерную систему поступает на вход усилителя приемника. В этой цепи нас интересует участок от входных коннекторов передающей антенны, куда поступает сигнал мощностью Pt, до коннекторов приемной антенны, откуда снимается сигнал мощностью Pr. Величины этих мощностей можно измерить непосредственно. Для простоты мы полагаем, что излучение – плоскополяризованное, поляризации приемной и передающей антенн всегда совпадают, антенны идеально согласованы, находятся в дальней зоне относительно друг друга, электрических потерь в самих антеннах нет, т.е. вся энергия Pt излучается в пространство (и вся энергия Pr, принятая антенной, передается на ее коннекторы).
Пусть в качестве передающей антенны мы используем изотропный излучатель, диаграмма направленности которого представляет собой идеальную сферу. Это модельная ситуация, поскольку в природе изотропных излучателей нет (подобные свойства могут проявлять звезды, но не о них речь).
В точке расположения приемной антенны на расстоянии R от излучателя поток мощности W равномерно распределяется в пространстве на площади S = 4πR2. На единицу площади приходится удельная мощность
Wi = Pti/S = Pti/4πR2, (4)
где Pti – мощность излучения изотропной антенны.
Приемная антенна – это устройство, предназначенное для того, чтобы извлекать из пространства дошедшую до нее энергию. Очевидно, что для этого приемная антенна должна обладать некоей эффективной площадью Аr. Тогда мощность, принимаемая антенной
. (5)
Изотропных антенн не бывает. Представим для простоты, что имеем дело с направленной антенной, мощность Pt которой сконцентрирована в некотором телесном угле с углами раскрыва ϕ по вертикали и θ по горизонтали. Тогда на расстоянии R такой телесный угол будет ограничивать площадь фрагмента сферы S1 = ϕθR2. Предположим, что в пределах этого телесного угла мощность распределена равномерно. Тогда плотность мощности составит W = Pt/(ϕθR2).
Введем понятие коэффициента направленного действия (КНД) антенны D. Под ним понимают отношение потока мощности излучения антенны в направлении максимума излучения Wmax к средней мощности потока W на том же расстоянии:
D = Wmax/W;
W = Pt/(4πR2).
Или, иначе, КНД – это отношение общей мощности, подводимой к изотропной антенне, к мощности, подводимой к направленной антенне при условии, что удельная мощность в точке приема этих двух антенн одинакова: Pti = DPt. Тогда (5) примет вид:
. (6)
Для КНД можно записать
.
Здесь КНД вычисляется в квадратных радианах. Можно перевести его в "квадратные градусы", т.е. умножить числитель на (180/π)2. В итоге получим:
D = 41 253/(ϕ∙θ),
где ϕ и θ – ширина луча антенны в градусах. Это приближенный метод Крауса. На практике в числителе используют значения в диапазоне от 40 000 до 32 000, учитывающие неидеальность формы антенны. В любом случае это – оценка, точное значение получим, проинтегрировав поток мощности по углам ϕ и θ.
КНД антенны характеризует усиление ее мощности по сравнению с изотропным излучателем. Поскольку таковых излучателей не бывает, КНД определяют в сравнении с антенной с эталонным КНД. Например, с полуволновым диполем, КНД которого D = 1,64 (2,15 дБи, "и" показывает выигрыш по отношению к изотропному излучателю). ДН такого полуволнового излучателя напоминает тор.
КНД параболической симметричной антенны
D = (πd/λ)2, (7)
где d – диаметр ее зеркала. Эта формула выводится из геометрии параболической антенны как предельный случай регулярной дифракционной решетки.
КНД определяется конструкцией и совершенством геометрии антенны. Однако идеальных объектов не бывает, поэтому используют понятие усиления антенны
Gt = kD, (8)
где k – КПД антенны. Как правило, k лежит в интервале 0,5–0,8. Усиление антенны можно измерить непосредственно. Поэтому именно параметр G специфицируется в техническом паспорте изделия. Обратим внимание, что он специфицируется для строго определенной частоты, поскольку G параболической антенны (7) зависит от длины волны.
Таким образом, выражение (6) запишем как
. (9)
Для системы с параболической передающей антенной (9), с учетом (7) и (8), оно будет выглядеть как
. (10)
Осталось определить эффективную площадь антенны. Эффективная площадь – это коэффициент, показывающий, какую долю энергии падающей волны при заданной интенсивности способна извлекать антенна, т.е. A = Pr/W. Эффективная площадь отличается от физической площади антенны, но в случае апертурных антенн (антенная решетка, проводящая плоскость, рупорная антенна, зеркала и линзы) сопоставима с физической площадью. Например, для параболического зеркала диаметром d эффективная площадь A равна площади раскрыва:
A = πd2/4. (11)
Заметьте, эффективная площадь для таких антенн никак не зависит от длины волны (при условии, что линейные размеры антенн много больше длины волны, т.е. применимы принципы геометрической оптики). В случае штыревых антенн и диполей ситуация иная, там эффективная площадь прямо пропорциональна длине волны. Например, для полуволнового диполя A = 0,13λ2. Для штыревой антенны (проводника с током) без электрических потерь A = 3λ2/(8π), что хорошо аппроксимируется площадью прямоугольника со сторонами λ/2 и λ/4. Таким образом, эффективная площадь проводника A ≈ 0,12λ2 прямо пропорциональна длине волны и не зависит от длины самого проводника. Именно поэтому применение всенаправленных штыревых антенн, используемых с системах связи сантиметрового диапазона (Wi-Fi, 3G, 4G), крайне проблематично (неприемлемо) для систем связи миллиметрового диапазона – эффективная площадь очень мала.
C учетом (10) и (11) для системы с параболическими антеннами диаметрами dt и dr запишем:
. (12)
Мы видим, что в системах с двумя параболическими антеннами принимаемая мощность обратно пропорциональна квадрату расстояния и прямо пропорциональна квадрату рабочей частоты. Иными словами, в свободном пространстве энергетический выигрыш растет пропорционально квадрату частоты.
Один из основополагающих принципов антенных систем – принцип взаимности. Он показывает, что параметры антенны, работающей на передачу, будут такими же при работе на прием (токи в антенне, возбуждающие электромагнитное поле, будут равны токам, наводимым в той же антенне таким же полем). Поэтому для приемных антенн также можно ввести понятие КНД, оно показывает отношение эффективной площади реальной антенны к эффективной площади изотропной антенны. Последнее, напомним, – математическая абстракция, но ее эффективная площадь
Ai = λ2/(4π). (13)
Соответственно, для приемной антенны
Dr = Ar/Ai = 4πAr/λ2. (14)
В соответствии с принципом взаимности, для пары передающая – приемная антенна можно записать DtAr = DrAt, откуда Dt/Dr = At/Ar. В результате получаем "основное соотношение между действующей площадью и КНД антенны" [5]:
A = Dλ2/(4π); D = 4πA/λ2. (15)
Именно это соотношение Г.Т.Фрис и
С.А.Щелкунов в своей книге справедливо назвали основным. И уже из него как вспомогательные выводятся соотношения
. (16)
В чем корни ошибки
Из принципа взаимности следует, что для определения параметров передающей антенны достаточно определить ее свойства в режиме передачи. И действительно, в подавляющем большинстве случаев гораздо удобнее измерить усиление передающей антенны G и уже из него определить эффективную площадь этой же антенны в режиме приема:
A = Gλ2/(4π). (17)
Если вместо эффективной площади приемной антенны использовать понятие усиления Gr, то формула (6) примет вид:
,
т.е. мы вернулись к формуле (1).
Поскольку именно усиление на определенной частоте специфицируется для антенн и указывается в их техническом паспорте, формула (1) используется инженерами-проектировщиками для расчета бюджета линии. Но при этом λ является константой, связанной с G. Многие авторы представляют формулу (1) в виде
,
вводя понятие "затухание свободного пространства". От этого не было бы беды, если бы все помнили, что этот параметр – – обратно
пропорционален только квадрату расстояния R2. В этой формуле λ – это не переменная, а константа, при которой определялись G.
Мы видели, что для параболической антенны, равно как и для любой другой, у которой КНД пропорционален отношению линейных размеров (d/λ)2, Pr/Pt ~ 1/λ2. А формула (1) показывает строго обратное. Это верно, если помнить, что сомножители Gt и Gr – функции от λ, и в случае апертурных антенн G ~ 1/λ2. Но вот об этом почему-то многие забывают. А если действительно нужно построить зависимость Pr/Pt от λ, об этом забывать никак нельзя – иначе мы получим ситуацию, изложенную в самом начале, когда функция y(x) = abx2, где a и b = const, начинает выглядеть как y ~ 1/x2.
Физический смысл того, что λ2 оказалась в числителе (1), достаточно очевиден. Приемная антенна ведь ничего не усиливает, принимаемая мощность зависит от ее эффективной площади А, которая у направленных антенн не зависит от частоты. В (1) же эффективная площадь А выражена через усиление Gt ~ 1/λ2. Произведение GrGt ~ 1/λ4. Соответственно, необходим компенсирующий коэффициент λ2 в числителе.
В каждой сказке есть доля сказки
Конечно, все наши рассуждения относились только к некой идеальной ситуации – передача в вакууме в отсутствие других источников сигналов. В реальности направленность приемной антенны крайне важна, поскольку обеспечивает пространственную селекцию сигналов, тем самым снижая уровень шумов и повышая отношение сигнал/шум. Конечно, затухание и рассеяние электромагнитного излучения в атмосфере зависит от частоты. В области миллиметрового диапазона эта зависимость достаточно сложна [2]. Например, в окне прозрачности 28–38 ГГц затухание в атмосфере на уровне моря составляет менее 0,2 дБ/км, для 80 ГГц – порядка 0,4 дБ/км, а в окне непрозрачности 60 ГГц – 16 дБ/км. Еще сильнее частотная зависимость затухания при осадках. Но все это никак не влияет на базовую формулу распространения в свободном пространстве.
Реальные законы распространения радиоволн зависят от множества факторов, и еще никому не удалось найти общее уравнение, описывающее затухание радиосигналов в реальных условиях. Некоторые исследователи записывают (1) в виде
,
и экспериментально, для различных условий рельефа, городской застройки, строительных материалов в помещении и т.п. определяют α. Для миллиметрового диапазона в городских условиях α принимает значения от 3 до 5. Очевидно, что это в чистом виде эмпирическая зависимость, ни линейно, ни экспоненциально не зависящая от длины волны.
Результаты исследований, например [6, 7], явно показывают, что миллиметровый диапазон подходит не только для радиорелейных систем связи. Он имеет огромный потенциал для построения сетей абонентского доступа, сетей беспроводной связи поколения 5G. Но это невозможно увидеть, если считать, что потери в канале передачи пропорциональны квадрату (или более высокой степени) частоты.
Литература
1. Modern Antenna Handbook. Ed. C.A. Balanis. – John Wiley & Sons, 2008.
2 Millimeter wave propagation: Spectrum management implications. Bulletin No.70, July 1997, Federal Communications Commission, Office of Engineering and Technology.
3. A note on a simple transmission formula. – Proceedings of I.R.E. May, 1946, vol.34,
p.254–256.
4. S.A.Schelkunoff, H.T.Friis. Antennas. Theory and practice. – New York: John Wiley & Sons, 1952.
5. Щелкунов С., Фиис Г. Антенны. – М.: Советское радио, 1955.
6. Theodore S. Rappaport, et al. Millimeter wave mobile communications for 5G cellular: It Will Work! – IEEE Access, 2013, vol.1, p.335–349.
7. T.S.Rappaport, E.Ben-Dor, J.N.Murdock, Y.Qiao. 38 GHz and 60 GHz Angle-dependent popagation for cellular & peer-to-peer wireless communications. – 2012 IEEE International Conference on Communications, Ottawa, Canada, June 2012.
Мне казалось, что подобная статья не нужна, поскольку все изложенные в ней вопросы многократно рассмотрены за последние 60–70 лет. Более того, любой серьезный специалист в радиофизике, теории антенн, радиолокации и аналогичных областях просто не поймет, зачем это написано. Однако современная телекоммуникационная индустрия – область чрезвычайно широкая. Едва ли найдется специалист, который досконально знает о ней все – от элементной базы до бизнес-схем организации обслуживания клиентов. Невозможно требовать от специалистов по эксплуатации систем беспроводного доступа знания законов распространения радиоволн или общей электродинамики. Да и не нужно. Для этого выведены расчетные инженерные формулы, в которые можно подставить значения и получить результат.
Проблема лишь в том, что любая математическая модель отражает реальность в ограниченной области. Любая формула – это математическая абстракция, справедливая лишь в рамках неких граничных условий. Помня формулу, порой забывают об области ее применения и физическом смысле, но пытаются на ее основе построить картину мира. В итоге результаты оказываются противоположными реальности.
Сегодня одно из бурно развивающихся направлений телекоммуникаций – системы связи миллиметрового диапазона. Они уже промышленно осваиваются на уровне аппаратуры опорных сетей и радиорелейных линий, на повестке дня – вопрос о создании сетей абонентского доступа в миллиметровом диапазоне. Многие эксперты даже связывают будущие системы связи (5G) именно с этим диапазоном. Однако даже очень грамотные специалисты не устают повторять некий миф – в миллиметровом диапазоне очень велико "затухание свободного пространства". Причем это "затухание" пропорционально квадрату частоты. Подчеркнем, речь идет не о затухании в атмосфере в целом, не о резонансном поглощении на молекулах кислорода или воды – говорят именно о затухании в физическом вакууме. А законы распространения в вакууме – это некое нулевое приближение, отталкиваясь от которого, выводят законы распространения радиоволн в реальных условиях, – правда, в основном полуэмпирические.
Конечно, любой специалист, который изучал и не забыл физику, услышав термин "затухание свободного пространства", лишь усмехнется. Физический вакуум – он на то и вакуум, что ни затухать, ни рассеиваться электромагнитным волнам там не на чем. Будь это иначе, если бы электромагнитные волны действительно затухали в вакууме, и тем более – пропорционально квадрату частоты, мы никогда не увидели бы солнечный свет, не смогли бы использовать рентгеновское излучение. Заблуждение очевидно, но откуда оно взялось?
В радиотехнике, в частности при расчете бюджета радиорелейных систем, широко распространено уравнение, которое называют формулой Фрииса. Ее приводят как:
, (1)
где Pr – мощность на выходе приемной антенны, Pt – мощность на входе передающей антенны, Gr и Gt – коэффициенты усиления приемной и передающей антенн, R – расстояние между ними, λ – длина волны излучения. Сомножитель
, (2)
где f – частота, с – скорость света в вакууме, в зарубежной и российской литературе и называют "затуханием свободного пространства" (free space loss, см., например, [1, 2]). Резон для этого есть – в приведенной формуле он действительно выглядит как коэффициент затухания, обратно пропорциональный квадрату расстояния и прямо пропорциональный длине волны. При этом, забыв о природе этой формулы, считают усиление антенн константами и выводят закон о том, что мощность в приемной антенне убывает не только с квадратом расстояния (что верно), но и с квадратом рабочей частоты. Последнее, как мы покажем ниже, в большинстве случаев верно с точностью до наоборот – эффективность системы растет пропорционально квадрату частоты. Во многом именно данный факт и открывает перед системами связи миллиметрового диапазона широчайшие перспективы. И именно ошибочность восприятия термина "затухание свободного пространства" не дает многим специалистам это увидеть.
Экскурс в историю
6 декабря 1945 года в редакцию журнала Proceedings of I.R.E. and Waves and Electrons (с 1963 года – Proceedings of IEEE) поступила статья "Заметка о простой формуле передачи" известного американского специалиста из Bell Labs Гарольда Трапа Фрииса (Harald Trap Friis). Через полгода она была опубликована [3]. Это очень короткая статья, менее двух страниц, но именно в ней впервые появилась "формула Фрииса". Только вот выглядела она иначе, чем (1):
, (3)
где Ar и At – эффективные площади приемной и передающей антенн. Разница между (1) и (3) налицо: нет никакого "усиления", зато есть "эффективная площадь" – параметр, определяемый конструкцией и геометрией антенны. А самое важное – отношение принятой мощности к переданной здесь обратно пропорционально длине волны. То есть при равных эффективных площадях антенн чем выше частота, тем больше энергетический выигрыш. К слову, термина "затухание свободного пространства" в статье нет, Г.Фриис просто вводил формулу для оценочных расчетов.
Через шесть лет, в 1952 году, Г.Т.Фриис и другой, не менее известный, сотрудник Bell Labs Сергей Александрович Щелкунов издали книгу Antennas. Theory and Practice [4]. Через три года знаменитая книга "Антенны (теория и практика)" была издана в СССР [5] и стала учебником для многих поколений специалистов. Разумеется, в ней подробно рассматриваются вопросы расчета антенных систем, в том числе и приводится вывод формулы Фрииса. Причем там она также записана так, что ошибиться в ее понимании сложно. Приведем прямую цитату:
Заметим, авторы особо оговорили, что формулы "удобны", когда приведенные в них параметры антенн не зависят от длины волны. И что характерно – на всех 600 с лишним страницах книги ни разу не встречается термин "затухание свободного пространства".
Давайте кратко, "на пальцах", рассмотрим, как выводится формула Фрииса, в чем физический смысл входящих в нее параметров и в каких случаях ее следует применять.
Краткие сведения из теории связи
Прежде всего, определим объект рассмотрения. Мы говорим о законах распространения сигнала в беспроводном канале передачи в условиях абсолютного вакуума, т.е. без каких-либо затуханий и рассеяний. Предполагаем полное отсутствие иных источников излучения, кроме передающей антенны.
Система связи – это комплекс, включающий передающее устройство, генерирующее РЧ-сингал, фидерную систему, доставляющую этот сигнал до антенны, и саму антенну, преобразующую сигнал в электромагнитное излучение. Это излучение распространяется в пространстве и достигает приемной антенны, где в свою очередь преобразуется в электрический ток и через фидерную систему поступает на вход усилителя приемника. В этой цепи нас интересует участок от входных коннекторов передающей антенны, куда поступает сигнал мощностью Pt, до коннекторов приемной антенны, откуда снимается сигнал мощностью Pr. Величины этих мощностей можно измерить непосредственно. Для простоты мы полагаем, что излучение – плоскополяризованное, поляризации приемной и передающей антенн всегда совпадают, антенны идеально согласованы, находятся в дальней зоне относительно друг друга, электрических потерь в самих антеннах нет, т.е. вся энергия Pt излучается в пространство (и вся энергия Pr, принятая антенной, передается на ее коннекторы).
Пусть в качестве передающей антенны мы используем изотропный излучатель, диаграмма направленности которого представляет собой идеальную сферу. Это модельная ситуация, поскольку в природе изотропных излучателей нет (подобные свойства могут проявлять звезды, но не о них речь).
В точке расположения приемной антенны на расстоянии R от излучателя поток мощности W равномерно распределяется в пространстве на площади S = 4πR2. На единицу площади приходится удельная мощность
Wi = Pti/S = Pti/4πR2, (4)
где Pti – мощность излучения изотропной антенны.
Приемная антенна – это устройство, предназначенное для того, чтобы извлекать из пространства дошедшую до нее энергию. Очевидно, что для этого приемная антенна должна обладать некоей эффективной площадью Аr. Тогда мощность, принимаемая антенной
. (5)
Изотропных антенн не бывает. Представим для простоты, что имеем дело с направленной антенной, мощность Pt которой сконцентрирована в некотором телесном угле с углами раскрыва ϕ по вертикали и θ по горизонтали. Тогда на расстоянии R такой телесный угол будет ограничивать площадь фрагмента сферы S1 = ϕθR2. Предположим, что в пределах этого телесного угла мощность распределена равномерно. Тогда плотность мощности составит W = Pt/(ϕθR2).
Введем понятие коэффициента направленного действия (КНД) антенны D. Под ним понимают отношение потока мощности излучения антенны в направлении максимума излучения Wmax к средней мощности потока W на том же расстоянии:
D = Wmax/W;
W = Pt/(4πR2).
Или, иначе, КНД – это отношение общей мощности, подводимой к изотропной антенне, к мощности, подводимой к направленной антенне при условии, что удельная мощность в точке приема этих двух антенн одинакова: Pti = DPt. Тогда (5) примет вид:
. (6)
Для КНД можно записать
.
Здесь КНД вычисляется в квадратных радианах. Можно перевести его в "квадратные градусы", т.е. умножить числитель на (180/π)2. В итоге получим:
D = 41 253/(ϕ∙θ),
где ϕ и θ – ширина луча антенны в градусах. Это приближенный метод Крауса. На практике в числителе используют значения в диапазоне от 40 000 до 32 000, учитывающие неидеальность формы антенны. В любом случае это – оценка, точное значение получим, проинтегрировав поток мощности по углам ϕ и θ.
КНД антенны характеризует усиление ее мощности по сравнению с изотропным излучателем. Поскольку таковых излучателей не бывает, КНД определяют в сравнении с антенной с эталонным КНД. Например, с полуволновым диполем, КНД которого D = 1,64 (2,15 дБи, "и" показывает выигрыш по отношению к изотропному излучателю). ДН такого полуволнового излучателя напоминает тор.
КНД параболической симметричной антенны
D = (πd/λ)2, (7)
где d – диаметр ее зеркала. Эта формула выводится из геометрии параболической антенны как предельный случай регулярной дифракционной решетки.
КНД определяется конструкцией и совершенством геометрии антенны. Однако идеальных объектов не бывает, поэтому используют понятие усиления антенны
Gt = kD, (8)
где k – КПД антенны. Как правило, k лежит в интервале 0,5–0,8. Усиление антенны можно измерить непосредственно. Поэтому именно параметр G специфицируется в техническом паспорте изделия. Обратим внимание, что он специфицируется для строго определенной частоты, поскольку G параболической антенны (7) зависит от длины волны.
Таким образом, выражение (6) запишем как
. (9)
Для системы с параболической передающей антенной (9), с учетом (7) и (8), оно будет выглядеть как
. (10)
Осталось определить эффективную площадь антенны. Эффективная площадь – это коэффициент, показывающий, какую долю энергии падающей волны при заданной интенсивности способна извлекать антенна, т.е. A = Pr/W. Эффективная площадь отличается от физической площади антенны, но в случае апертурных антенн (антенная решетка, проводящая плоскость, рупорная антенна, зеркала и линзы) сопоставима с физической площадью. Например, для параболического зеркала диаметром d эффективная площадь A равна площади раскрыва:
A = πd2/4. (11)
Заметьте, эффективная площадь для таких антенн никак не зависит от длины волны (при условии, что линейные размеры антенн много больше длины волны, т.е. применимы принципы геометрической оптики). В случае штыревых антенн и диполей ситуация иная, там эффективная площадь прямо пропорциональна длине волны. Например, для полуволнового диполя A = 0,13λ2. Для штыревой антенны (проводника с током) без электрических потерь A = 3λ2/(8π), что хорошо аппроксимируется площадью прямоугольника со сторонами λ/2 и λ/4. Таким образом, эффективная площадь проводника A ≈ 0,12λ2 прямо пропорциональна длине волны и не зависит от длины самого проводника. Именно поэтому применение всенаправленных штыревых антенн, используемых с системах связи сантиметрового диапазона (Wi-Fi, 3G, 4G), крайне проблематично (неприемлемо) для систем связи миллиметрового диапазона – эффективная площадь очень мала.
C учетом (10) и (11) для системы с параболическими антеннами диаметрами dt и dr запишем:
. (12)
Мы видим, что в системах с двумя параболическими антеннами принимаемая мощность обратно пропорциональна квадрату расстояния и прямо пропорциональна квадрату рабочей частоты. Иными словами, в свободном пространстве энергетический выигрыш растет пропорционально квадрату частоты.
Один из основополагающих принципов антенных систем – принцип взаимности. Он показывает, что параметры антенны, работающей на передачу, будут такими же при работе на прием (токи в антенне, возбуждающие электромагнитное поле, будут равны токам, наводимым в той же антенне таким же полем). Поэтому для приемных антенн также можно ввести понятие КНД, оно показывает отношение эффективной площади реальной антенны к эффективной площади изотропной антенны. Последнее, напомним, – математическая абстракция, но ее эффективная площадь
Ai = λ2/(4π). (13)
Соответственно, для приемной антенны
Dr = Ar/Ai = 4πAr/λ2. (14)
В соответствии с принципом взаимности, для пары передающая – приемная антенна можно записать DtAr = DrAt, откуда Dt/Dr = At/Ar. В результате получаем "основное соотношение между действующей площадью и КНД антенны" [5]:
A = Dλ2/(4π); D = 4πA/λ2. (15)
Именно это соотношение Г.Т.Фрис и
С.А.Щелкунов в своей книге справедливо назвали основным. И уже из него как вспомогательные выводятся соотношения
. (16)
В чем корни ошибки
Из принципа взаимности следует, что для определения параметров передающей антенны достаточно определить ее свойства в режиме передачи. И действительно, в подавляющем большинстве случаев гораздо удобнее измерить усиление передающей антенны G и уже из него определить эффективную площадь этой же антенны в режиме приема:
A = Gλ2/(4π). (17)
Если вместо эффективной площади приемной антенны использовать понятие усиления Gr, то формула (6) примет вид:
,
т.е. мы вернулись к формуле (1).
Поскольку именно усиление на определенной частоте специфицируется для антенн и указывается в их техническом паспорте, формула (1) используется инженерами-проектировщиками для расчета бюджета линии. Но при этом λ является константой, связанной с G. Многие авторы представляют формулу (1) в виде
,
вводя понятие "затухание свободного пространства". От этого не было бы беды, если бы все помнили, что этот параметр – – обратно
пропорционален только квадрату расстояния R2. В этой формуле λ – это не переменная, а константа, при которой определялись G.
Мы видели, что для параболической антенны, равно как и для любой другой, у которой КНД пропорционален отношению линейных размеров (d/λ)2, Pr/Pt ~ 1/λ2. А формула (1) показывает строго обратное. Это верно, если помнить, что сомножители Gt и Gr – функции от λ, и в случае апертурных антенн G ~ 1/λ2. Но вот об этом почему-то многие забывают. А если действительно нужно построить зависимость Pr/Pt от λ, об этом забывать никак нельзя – иначе мы получим ситуацию, изложенную в самом начале, когда функция y(x) = abx2, где a и b = const, начинает выглядеть как y ~ 1/x2.
Физический смысл того, что λ2 оказалась в числителе (1), достаточно очевиден. Приемная антенна ведь ничего не усиливает, принимаемая мощность зависит от ее эффективной площади А, которая у направленных антенн не зависит от частоты. В (1) же эффективная площадь А выражена через усиление Gt ~ 1/λ2. Произведение GrGt ~ 1/λ4. Соответственно, необходим компенсирующий коэффициент λ2 в числителе.
В каждой сказке есть доля сказки
Конечно, все наши рассуждения относились только к некой идеальной ситуации – передача в вакууме в отсутствие других источников сигналов. В реальности направленность приемной антенны крайне важна, поскольку обеспечивает пространственную селекцию сигналов, тем самым снижая уровень шумов и повышая отношение сигнал/шум. Конечно, затухание и рассеяние электромагнитного излучения в атмосфере зависит от частоты. В области миллиметрового диапазона эта зависимость достаточно сложна [2]. Например, в окне прозрачности 28–38 ГГц затухание в атмосфере на уровне моря составляет менее 0,2 дБ/км, для 80 ГГц – порядка 0,4 дБ/км, а в окне непрозрачности 60 ГГц – 16 дБ/км. Еще сильнее частотная зависимость затухания при осадках. Но все это никак не влияет на базовую формулу распространения в свободном пространстве.
Реальные законы распространения радиоволн зависят от множества факторов, и еще никому не удалось найти общее уравнение, описывающее затухание радиосигналов в реальных условиях. Некоторые исследователи записывают (1) в виде
,
и экспериментально, для различных условий рельефа, городской застройки, строительных материалов в помещении и т.п. определяют α. Для миллиметрового диапазона в городских условиях α принимает значения от 3 до 5. Очевидно, что это в чистом виде эмпирическая зависимость, ни линейно, ни экспоненциально не зависящая от длины волны.
Результаты исследований, например [6, 7], явно показывают, что миллиметровый диапазон подходит не только для радиорелейных систем связи. Он имеет огромный потенциал для построения сетей абонентского доступа, сетей беспроводной связи поколения 5G. Но это невозможно увидеть, если считать, что потери в канале передачи пропорциональны квадрату (или более высокой степени) частоты.
Литература
1. Modern Antenna Handbook. Ed. C.A. Balanis. – John Wiley & Sons, 2008.
2 Millimeter wave propagation: Spectrum management implications. Bulletin No.70, July 1997, Federal Communications Commission, Office of Engineering and Technology.
3. A note on a simple transmission formula. – Proceedings of I.R.E. May, 1946, vol.34,
p.254–256.
4. S.A.Schelkunoff, H.T.Friis. Antennas. Theory and practice. – New York: John Wiley & Sons, 1952.
5. Щелкунов С., Фиис Г. Антенны. – М.: Советское радио, 1955.
6. Theodore S. Rappaport, et al. Millimeter wave mobile communications for 5G cellular: It Will Work! – IEEE Access, 2013, vol.1, p.335–349.
7. T.S.Rappaport, E.Ben-Dor, J.N.Murdock, Y.Qiao. 38 GHz and 60 GHz Angle-dependent popagation for cellular & peer-to-peer wireless communications. – 2012 IEEE International Conference on Communications, Ottawa, Canada, June 2012.
Отзывы читателей
